Eine Aufteilung der Kugeln gelingt, sofern entweder n oder n+1 durch 4 teilbar ist.
Die Summe über alle Zahlen auf den n Bällen beträgt
1 + 2 + … + n-1 + n = n(n+1)/2
Bei der Berechnung dieser Summe und auch bei der Berechnung weiterer Summen in dieser Lösung benutzen wir den einen Trick des Mathematikers Friedrich Gauß. Dabei sortieren wir die Summanden so um, dass sich Zahlenpaare ergeben, worbei die Summe der beiden Zahlen eines Paares für alle Paare gleich ist.
1 + 2 + … + n-1 + n =
1+n + 2+n-1 + 3+n-2 + … = n(n+1)/2
Wir nehmen an, dass wir die Bälle auf zwei Schalen aufteilen können und die Summe der Zahlen in beiden Fällen gleich groß ist – und zwar k. Dann muss gelten:
n(n+1)/2 = 2k und damit auch
n(n+1) = 4k
Also muss n(n+1) durch 4 teilbar sein. Da n und n+1 aufeinanderfolgende Zahlen sind, ist eine dieser beiden Zahlen ungerade. Damit das Produkt n(n+1) durch 4 teilbar ist, muss entweder n oder n+1 durch 4 teilbar sein.
Wir zeigen nun, dass in beiden Fällen eine Aufteilung der n Kugeln existiert, bei der die Summe der Zahlen auf den Kugeln in beiden Schalen gleich groß ist.
1) n = 4k
In der ersten Schale liegen die Kugeln mit den Nummern
1, 4k, 2, (4k-1), … bis k, (3k+1)
Die Summe der Zahlen ist dann k(4k+1).
In der zweiten Schale liegen die Kugeln mit den Nummern
k+1, 3k, k+2, 3k-1, … bis 2k, 2k+1
Auch hier beträgt die Summe k(4k+1).
2) n+1 = 4k
Also gilt n = 4k-1. Die Summe über die Zahlen aller n Kugeln beträgt (4k-1)2k.
In der ersten Schale liegen die Kugeln mit den Nummern
4k-2, 1, 4k-3, 2 bis zu 3k-1, k. Die Summe ist dann (4k-1)k
In der zweiten Schale liegen die Kugeln mit den Nummern
k+1, 3k-2, k+2, 3k-3, bis zu 2k, 2k-1 sowie zusätzlich die Kugel 4k-1. Auch hier ergibt sich als Summe (4k-1)k.