Wir nehmen als Beispiel die Zahl 4185. Ihre Quersumme 4+1+8+5 beträgt 18 und ist durch 9 teilbar.
Warum der Quersummentrick funktioniert, verstehen wir schnell, wenn wir die Zahl 4185 in vier Summanden zerlegen:
4185 = 4*1000 + 1*100 + 8*10 + 5
Wir schauen uns nun an, welche Reste diese vier Summanden beim Teilen durch 9 lassen. Wenn wir diese Reste addieren und dabei eine durch 9 teilbare Zahl herauskommt, muss die gesamte Zahl durch 9 teilbar sein. Sie lässt dann beim Teilen durch 9 einen Rest von 0. Vielfache von 9 können wir bei der Analyse von Resten nämlich einfach wegstreichen.
Fangen wir mit dem Summanden ganz rechts an: 5 lässt beim Teilen durch 9 den Rest 5.
Der Summand 8*10 hat lässt einen Rest von 8, weil wir 10 auch durch die Summanden 9+1 ausdrücken können. Wir können statt 8*10 also 8*(9+1) schreiben. 8*9 hat einen Rest von 0 beim Dividieren durch 9, bleibt also nur der Rest 8*1=8.
Ähnlich gehen wir beim Summanden 1*100 vor: Wir schreiben ihn als 1*(99+1). 99 ist ein Vielfaches von 9, also bleibt als Rest beim Teilen durch 9 nur 1*1=1.
Den Summanden 4*1000 schließlich schreiben wir als 4*(999+1). Und hier bleibt als Rest 4.
Allgemein gilt für jede Zehnerpotenz, dass diese beim Teilen durch 9 immer den Rest 1 lässt. Denn zieht man von einer Zehnerpotenz 1 ab, erhält man eine Zahl, die nur aus Neunen besteht und daher durch 9 teilbar ist.
Wir sehen nun: Die Summe der Reste einer natürlichen Zahl beim Teilen durch 9 entspricht genau ihrer Quersumme. Und wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist, gilt das auch für die Zahl selbst.